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地平线离你究竟有多远,既然一颗卫星就能看清半个地球

2020-03-26 08:11

由于地球是一个球体,我们脚下的大地并不是平的,因此你并不能真正地看到无穷远。远方的大地最终会向下弯曲,落到你的视平线之下。假设你的眼睛离地面有 1.6 米,你能看到多远呢?如果我们把地球抽象成一个半径为 6371 千米的巨大球体,我们就能借助几何知识大致算出你所能看到的最远距离。

圆作为中学数学阶段必学的知识内容之一,一直占据着重要的位置和作用。如在中考数学试卷中存在着大量与圆有关的题型,这些题目既能充分考查学生的几何综合应用能力,又能考查学生灵活运用知识的创新思维能力。

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图片 2

圆的有关考查的知识点分布较广,主要集中在以下这几个方面:

距离对球体可视部分的影响

上图就是地平线问题的一个示意图。其中,O 是地球的中心,圆 O 的半径 r = 6 371 000 米。人站在地球表面的 A 点,人眼的位置记作 B ,并且 AB = 1.6 米。C 点则是人眼所能看到的最远的地方。由于 BC 与地球表面相切,因此 BC 与 OC 垂直,换句话说三角形 OBC 是一个直角三角形。已知这个直角三角形的一条直角边长 OC = 6 371 000 ,而斜边长为 OB = 6 371 000 + 1.6 = 6 371 001.6。利用勾股定理,我们就能算出这个直角三角形的另一条直角边的长度:

一、圆的有关概念及性质

如图所示,红色部分表示了观察者距离多远能看到多少球体表面。公有领域图像资料:克里斯托弗.埃斯.贝尔德。

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1、圆及其有关概念;

出于一个简单的几何原理,环绕地球的人造卫星并不能完整的看全半个地球。正如图中所示,当观察者直视一个球体时,他所能看到的范围只在视线与球体相切处以内。观察者站的越近,所能看到的也就越少。当你站在平地上时,观察天地交接处的地平线,能看到的范围总是基本相同的。

当然,准确地说,人与地平线之间的距离应该是弧 AC 的长度,但由于和地球的半径相比,人的高度太小太小,因此线段 BC 和弧 AC 的长度几乎没什么差别,BC 的长度就可以视为人与地平线之间的距离。也就是说,一个成年人站在一望无垠的草地上,远方的地平线离他不到 5 千米!

2、圆的性质;

图解:位于德国巴伐利亚赖斯廷的世界上最大的卫星地面站

3、垂径定理及其推论,垂径定理的应用;

而当你站在山丘等有一定高度变化的地方时,再去看地平线,所能看到的距离就随之改变了。但这些在陆地上的高度变化,相比于在卫星高度所产生的变化,就太微不足道了,简直可以忽略不计。

4、弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系;

如果球体的半径是R,观察者与球体表面之间的直线距离是d,则,通过简单的几何计算得出,观察者可见球体表面积为A:

5、圆心角与圆周角的关系,直径所对圆周角的特征。

等式表达A等于百分之50除以1加上R比d。

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图片:人造卫星,图源:wikipedia

二、与圆有关的位置关系

一旦d比R大的多的多,这个等式基本上可以看做是认为可视区域接近球体表面积的一半。但是如果想要完全的看到球体的一半,观察者必须在无限远的地方才能做到。类比一下,地球就是这个球体,卫星则是遥远的观察者。在地球弯曲的表面上,视野源起处被称为地平线。地球的半径约为6370公里(3960英里)。当一个人在地球表面行走时,他的眼睛距离地表约0.002千米(6英尺)。假设地球是个完美的球形,代入这个公式,那么这个人可以看到0.000016%的地球表面,大约82平方公里(32平方英里)。这相当于一个半径约为5公里(3英里)的可视圈。

1、点和圆的位置关系;

图源:stack exchange

2、直线和圆的位置关系;

换句话说,假设你正站在海边的沙滩上,眺望平静的海面,看远处的小船渐渐消失在地平线上,在他们开始消失前,你所能看到最远的船,距离你大约5公里。按理来说,远离地球表面可以拓宽你的视野。例如,站在海拔1公里的山顶上,你的能见范围可以提高到地球表面的0.0078%,即大约40000平方公里(15000平方英里),这样地平线就离你110公里(70英里)远。而通常,其他的山脉、树木,甚至大气层本身都会降低能见度。

3、切线的性质和判定;

全球定位系统卫星网络示例,图源:Stanford University

4、三角形的内心和外心;

地球的人造卫星轨道高度范围很广,这里只以全球定位系统的卫星网络系统来举例。全球定位系统的卫星的轨道高度约为2万公里。根据上面的公式,每颗卫星在某一时刻只能“看到”地球表面的38%。因此,想要同时“看到”整个地球,至少需要三颗卫星。

5、圆和圆的位置关系;

图解:美国DSP红外线间谍卫星

6、两圆相交、相切性质的应用。

而事实上,地球又不是一个完美的球体,山脉会挡住视线,大气又会扭曲光线,所以至少需要四颗卫星,才能完整的同时“看到”地球的全貌。但是,全球定位系统卫星的职责不仅仅是看到整个地球,更是需要通过三边测量法,帮助信号接收者定位他们的位置。这种定位程序如果想要达到最精准的效果,需要八颗卫星。由于每颗卫星的视野有限,而且需要有如此多的卫星重叠于同一视野,因此全球定位系统网络目前包含32颗卫星。

三、弧长、扇形面积的计算

1、计算弧长及圆锥中的有关长度;

2、求扇形的面积及简单组合图形的面积。

四、圆锥的侧面展开图

圆锥的侧面积和全面积的计算。

解与圆有关的问题时,常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形进行求解,因此大家在平时学习过程中,需要正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法。

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典型例题分析1:

已知AB是⊙O的直径,弦AC平分∠BAD,AD⊥CD于D,BE⊥CD于E.

求证:CD是⊙O的切线;CD2=AD•BE.

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证明:连接OC

∴∠OAC=∠OCA

∵AC平分∠BAC

∴∠DAC=∠OAC

∴∠OCA=∠DAC

∴AD∥OC

∵AD⊥CD

∴OC⊥CD

∴CD是⊙的切线

连接BC,延长AC交BE的延长线于M

∵AD⊥DE BE⊥DE

∴AD∥BE

∴∠M=∠DAC

∵∠DAC=∠BAM

∴∠BAM=∠M

∴BA=BM

∵AB是直径

∴∠ACB=90°

∴AC=MC

又∵∠M=∠DAC∠D=∠CEM AC=MC

∴DAC≌MCE

∴DC=EC

(若用平行线分线段成比例定理证明,正确得分)

∴∠DAC=∠BCE,∠ADC=∠CEB

∴ADC∽CEB

∴AD/CE=CD/BE

∴CE•CD=AD•BE

∴CD2=AD•BE

说明:本题还有其它证法,若正确合理得分.

考点分析:

切线的判定与性质;全等三角形的判定与性质;圆周角定理;相似三角形的判定与性质;证明题。

题干分析:

连接OC.欲证CD是⊙O的切线,只需证明OC⊥CD即可;作辅助线(连接BC,延长AC交BE的延长线于M )构建全等三角形DAC≌MCE,根据全等三角形的对应边相等知DC=EC;然后由相似三角形的判定定理AA判定ADC∽CEB,再由相似三角形的对应边成比例求得AD/CE=CD/BE,即CD2=AD•BE.

解题反思:

本题综合考查了切线的判定定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理.判定一条直线是圆的切线的三种方法:根据切线定义判定.即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.根据圆心到直线的距离来判定,即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.根据切线的判定定理来判定.

图片 7

典型例题分析2:

如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD丄PA,垂足为D.

求证:CD为⊙O的切线;

若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度.

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解:证明:连接OC,

∵点C在⊙O上,OA=OC,

∴∠OCA=∠OAC.

∵CD⊥PA,

∴∠CDA=90°,有∠CAD+∠DCA=90°.

∵AC平分∠PAE,

∴∠DAC=∠CAO.

∴∠DCO=∠DCA+∠ACD=∠DCA+CAO=∠DCA+∠DAC=90°.

又∵点C在⊙O上,OC为⊙O的半径,

∴CD为⊙O的切线.

过O作OF⊥AB,垂足为F,

∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,

∴OC=FD,OF=CD.

∵DC+DA=6,设AD=x,则OF=CD=6﹣x,

∵⊙O的直径为10,

∴DF=OC=5,

∴AF=5﹣x,

在RtAOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2.

即2+2=25,

化简得x2﹣11x+18=0,

解得x=2或x=9.

由AD<DF,知0<x<5,故x=2,

从而AD=2,AF=5﹣2=3,

∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB的中点,

∴AB=2AF=6.

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考点分析:

切线的判定与性质;勾股定理;矩形的判定与性质;垂径定理;证明题;几何综合题。

题干分析:

连接OC,根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°,再根据角平分线的性质,得∠DCO=90°,则CD为⊙O的切线;

过O作OF⊥AB,则OCD=∠CDA=∠OFD=90°,得四边形OCDF为矩形,设AD=x,在RtAOF中,由勾股定理得2+2=25,从而求得x的值,由勾股定理得出AB的长.

解题反思:

本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理,是基础知识要熟练掌握.

新一轮的中考数学复习又将开始了,回顾历年中考复习,我们学会将圆有关知识进行归类和整理,结合自身的实际学习情况,进行全面复习。如将关于圆在直线、角的顶点处、几何图形中的运动问题,通过问题背景、解决过程、反思过程等方式呈现出来,提炼解题方法。

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典型例题分析3:

如图所示,在以O为圆心的两个同心圆中,小圆的半径为1,AB与小圆相切于点A,与大圆相交于点B,大圆的弦BC⊥AB于点B,过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D,连接OC交小圆于点E,连接BE、BO.

求证:AOB∽BDC;

设大圆的半径为x,CD的长为y:

求y与x之间的函数关系式;

当BE与小圆相切时,求x的值.

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考点分析:

切线的性质;勾股定理;垂径定理;相似三角形的判定与性质;综合题。

题干分析:

由AB与小圆相切,CD与大圆相切,根据切线性质可得∠OAB与∠OCD相等,都为直角,又BC与AB垂直,根据垂直定义得到∠CBA与∠CBD都为直角,则∠1+∠OBC与∠2+∠OCB和都为90°,由OC=OB,根据“等边对等角”得到∠OBC=∠OCB,根据等角的余角相等,得到∠1=∠2,由两对对应角相等的两三角形相似得证;

过O作OF垂直于BC,由三个角都为直角的四边形为矩形得到ABOF为矩形,根据矩形的对边相等,得到FB=OA,由OA的长得到FB的长,又BC为大圆的弦,利用垂径定理得到BC=2BF,从而求出BC的长,在直角三角形OAB中,由OA=1,OB=x,利用勾股定理表示出AB,由得到的三角形相似得比例,把相应的值代入即可得到y与x的关系式;

当BE与小圆相切时,根据切线性质得到OE与BE垂直,由OE和OC表示出EC的长,根据切线长定理得到BE=BA,表示出EB,在直角三角形ECB中,由EC,EB及BC的长,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解即可得到x的值.

解题反思:

此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理及垂径定理.遇到切线,连接圆心与切点,是常常连接的辅助线,借助图形,由切线的性质构造直角三角形,然后利用勾股定理解决问题.熟练掌握切线的性质是解本题的关键.

近年来在全国各地的中考数学试题中,与有关圆的试题经常出现。此类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况,有利于培养同学们严谨的逻辑思维能力。